Widersprüche

»Etwas hat mich sehr beschäftigt«, sagte Alexander beim nächsten Besuch. »Cantor hat bewiesen, daß für eine beliebige Menge A eine größere existiert - nämlich P(A). Habe ich recht ?« »Ja«, antwortete der Zauberer. »Nun«, sagte Alexander, »nehmen wir an, A sei die Menge aller Mengen. Nach dem Cantorschen Satz folgt dann, daß es eine größere Menge als A gibt, doch wie kann es eine Menge geben, die größer ist als die Menge aller Mengen ? Die Potenzmenge von A - die Menge P(A) - ist eine Teilmenge von A, da A alle Mengen enthält; wie kann eine Teilmenge von A größer sein als A selbst ? Ich verstehe das wirklich nicht !« »Ja, da hast du ein berühmtes Paradoxon wiederentdeckt, das Cantor schon im Jahre 1897 gefunden hat«, sagte der Zauberer. "Bertrand Russel hat später das Cantorsche Paradoxon vereinfacht als Russellsches Paradoxon wiedergegeben, das wie folgt lautet: Wenn eine beliebige Menge x gegeben ist, dann ist sie entweder ein Element von sich selbst oder sie ist es nicht. Zum Beispiel ist eine Menge von Stühlen selbst nicht ein Stuhl, so daß keine Menge von Stühlen ein Element von sich selbst sein kann. Andererseits nehme man so etwas wie die Menge aller vorstellbaren Dinge. Diese Menge ist offensichtlich etwas vorstellbares und deshalb auch offenssichtlich ein Element von sich selbst. Mengen, die nicht Element von sich selbst sind, nennt man gewöhnliche Mengen, während die Mengen, die sich selbst enthalten, als außergewöhnliche Mengen bezeichnet werden. Es ist strittig, ob außergewöhnliche Mengen wirklich existieren; daß es gewöhnliche Mengen gibt, ist gewiß. Fast alle Mengen, auf die wir stoßen, sind gewöhnlich. Nun sei B die Menge aller gewöhnlichen Mengen. Somit ist jede gewöhnliche Menge ein Element von B, und jedes Element von B ist gewöhnlich - keine außergewöhnlichen Mengen sind in B. Ist B ein Element von sich selbst oder nicht ? In jedem Fall kommen wir zum Widerspruch. Angenommen, B ist ein Element von sich selbst. Da nur gewöhnliche Mengen Elemente von B sind, so muß B eine gewöhnliche Menge sein; da andererseits B ein Element von sich selbst ist, muß B außergewöhnlich sein, was zum Widerspruch führt. Somit ist es widersprüchlich anzunehmen, daß B außergewöhnlich ist. Nun nehmen wir an, daß B gewöhnlich ist. Da alle gewöhnlichen Mengen Elemente von B sind, muß dann auch B - als eine gewöhnliche Menge - ein Element von B sein, was B zu einer außergewöhnlichen Menge macht (da B dann ein Element von sich selbst wird ); es ist daher auch widersprüchlich, anzunehmen, daß B gewöhnlich ist. Das ist das berühmte Russellsche Paradoxon. Es ist eine Vereinfachung des Cantorschen Paradoxons in dem Sinne, daß es den Begriff der Größe nicht beinhaltet. Ich werde die möglichen Auflösungen der Russellschen und Cantorschen Paradoxone später besprechen. Im Jahre 1919 brachte Russell sein Paradoxon in eine populäre Form mit der Geschichte vom Barbier eines Dorfes, der alle und nur solche Einwohner rasiert, die sich selbst nicht rasieren. Somit rasiert der Barbier keinen Einwohner, der sich selbst rasiert, und jeder Einwohner, der sich nicht selbst rasiert, wird von dem Barbier rasiert. Rasiert der Barbier sich selbst oder nicht ? Wenn er dies tut, so rasiert er jemanden (nämlich sich selbst), der sich selbst rasiert, und verletzt dadurch die Regel, daß er niemanden rasiert, der das selbst tut. Wenn er sich nicht selbst rasiert, dann gehört er zu denjenigen Einwohneren, die sich selbst nicht rasieren, was wiederum zum Widerspruch führt. Und nun, rasiert der Barbier sich selbst oder nicht ? Wie würdet ihr dieses Paradoxon lösen ?

»Vielleicht ist der Barbier eine Frau ?« schlug Annabel vor. »Das führt nicht zum Ziel«, sagte der Zauberer. »Ich habe nicht gesagt, daß der Barbier alle Männer des Dorfes rasiert, die sich nicht selbst rasieren, sondern daß er alle Einwohner des Dorfes rasiert, die dies nicht selbst tun.«

»Und was ist dann die Lösung ? « fragte Annabel. »Das werden wir später erörtern«, erwiderte der Zauberer. "Zuerst möchte ich euch ein paar Varianten dieses Paradoxons erzählen.

Eine davon ist das Paradoxon von Mannurien, einem Land, in dem jede Stadt einen Bürgermeister haben muß, wobei keine zwei Städte den gleichen Bürgermeister haben können. Ein Bürgermeister kann - muß aber nicht - der Bewohner der Stadt sein, deren Bürgermeister er ist. Nach einem Gesetz ist eine besondere Stadt - genannt Arkadien - gegründet worden, die ausschließlich für die Bürgermeister reserviert ist, die in der Stadt, in der sie dieses Amt innehaben, nicht wohnen, und kraft dieses Gesetzes müssen solche Bürgermeister Bewohner von Arkadien sein. Arkadien muß wie jede andere Stadt auch einen Bürgermeister haben. Soll der Bürgermeister von Arkadien in Arkadien wohnen oder nicht ?

Man kennt auch jenes uralte Dilemma des Krokodils: Ein Krokodil hat ein Kind gestohlen. Das Krokodil verspricht dem Vater des Kindes, ihm das Kind dann und nur dann zurückzugeben, wenn der Vater richtig errät, ob ihm das Krokodil das Kind zurückgeben wird oder nicht. Was soll das Krokodil tun,, wenn der Vater die Vermutung äußert, daß ihm das Krokodil das Kind nicht mehr zurückgibt ?

Ich erinnere mich an eine paradoxe Situation, die entstanden ist, als einst der Logiker Smullyan von einem Studenten geschickt überlistet wurde. Bei seinem Einführungskurs in Logik pflegte Smullyan einen der wesentlichen Gedanken, die dem Beweis von Gödel zugrundeliegen, folgendermaßen zu erläutern: Er legte ein Centstück und einen Vierteldollar auf den Tisch und sagte zum Studenten : »Sie machen eine Aussage. Wenn die Aussage wahr ist, dann verspreche ich , Ihnen eine der beiden Münzen zu geben, ohne zu sagen welche. Wenn sie aber falsch ist, dann bekommen sie keine.« Die Aufgabe bestand darin, sich eine Aussage zu überlegen, die Smullyan dazu zwang, den Vierteldollar zu geben (unter der Annahme, das Smullyan sein Wort halten würde.)

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Für diejenigen , die dieses Rätsel nicht kennen - welche Aussage würde funktionieren ? (Die Lösung ist unten angegeben.)

- 2 -

Nachdem Annabel und Alexander die Aufgabe gelöst hatten, sagte der Zauberer : » Nun, der gescheite Student machte eine Aussage, die Smullyan daran hinderte, sein Wort zu halten. Welche Aussage hätte das sein können ?«

Lösung der Aufgaben 1 und 2

1. Eine Aussage, die zum Ziel führt, lautet : » Sie werden mir das Centstück nicht geben.« Wenn die Aussage falsch wäre - wenn es falsch wäre, daß ich Ihnen das Centstück nicht gebe - , würde dies heißen, daß ich Ihnen das Centstück gebe, aber dann würde ich für eine falsche Aussage eine Münze weggeben, was ich nicht tue. Darum kann die Aussage nicht falsch, sondern muß wahr sein. Da sie wahr ist, bedeutet dies, daß ich Ihnen tatsächlich das Centstück nicht gebe; ich muß Ihnen aber dennoch eine der beiden Münzen geben, da Ihre Aussage wahr ist. Daher habe ich keine andere Wahl und muß Ihnen den Vierteldollar geben.

Der Leser mag sich fragen, in welcher Beziehung das Gesagte zum Gödelschen Satz steht. Nun, bei Smullyan stellt der Vierteldollar die Wahrheit dar, während das Centstück die Beweisbarkeit verkörpert. Dann entspricht die Aussage » Sie werden mir das Centstück nicht geben « bzw. » Mir wird das Centstück nicht gegeben« dem Gödelschen Satz » Ich bin nicht beweisbar«.

2. Eine Aussage, die Smullyan daran hindert, sein Wort zu halten, lautet : »Sie werden mir keine Münze geben.« Was auch immer ich mache, ich muß mein Wort brechen. ( Nebenbei, diese Geschichte ist frei erfunden, dies hat sich nie ereignet ! Ich weis nicht, wie der Zauberer darauf gekommen ist, aber die Geschichte ist zugegebenermaßen gut)

» Ich kenne noch einen amüsanten Vorfall mit Smullyan«, sagte der Zauberer. » Sie scheinen eine unheimliche Verbindung mit dieser Figur Smullyan zu haben «, erwiderte Annabel. » Sie haben schon einige Male auf ihn verwiesen. Kennen Sie ihn persönlich ?« »Nein, wir sind uns nie begegnet. In gewisser Hinsicht leben wir in verschiedenen Welten. Ich habe Grund zu der Annahme, daß er glaubt, ich würde nicht wirklich existieren - daß ich nur eine erfundene Gestalt bin. Ich glaube, er glaubt, ihr beide würdet auch nicht existieren. Also wirklich, wie verrückt man werden kann! « » Vielleicht ist Smullyan derjenige, den es gar nicht gibt«, schlug Alexander vor. »An diese Möglichkeit habe ich auch schon gedacht«, sagte der Zauberer, »so daß in dem Fall die Geschichten, die ich über ihn gehört habe, nur Sagen sein können. Wie dem auch sei, sei es nur eine Legende oder die Wahrheit, Smullyan hielt ein Oberseminar über axiomatische Mengenlehre. Mitten in einer seiner Vorlesungen kam eine Studentin herein, entschuldigte sich für die Verspätung und fragte Smullyan, ob er ihr ein Exemplar des Scripts geben könne. Smullyan erwiderte: « Sie können eins haben, vorausgesetzt, Sie sind gut !» Sie fragte dann: « Was heißt es denn, gut zu sein ?» Smullyan antwortete : « Das heißt, nicht zu wissen, was es bedeutet, gut zu sein !» Alles brach in Gelächter aus * «

* Die Geschichte ist zwar war, aber wie konnte der Zauberer, bei dem ich darauf bestehe, daß er eine erfundene Figur ist, dies hinter meinem Rücken herausfinden ? Wie bringt es eine nicht - existente Gestalt fertig, Dinge herauszufinden - R.S

»Das ist wirklich seltsam« , sagte Annabel, »da man, nachdem man die Smullyanische Definition von <gut> gehört hat, gemäß dieser Definition nie gut sein kann, da man dann weiß, was es heißt, <gut> zu sein - das heißt, nicht zu wissen, was <gut> heißt.« »Da wäre ich mir nicht so sicher«, sagte der Zauberer, "Wie kann jemand wissen, daß <gut> bedeutet, nicht zu wissen, was <gut> bedeutet ? Das kommt mir widersprüchlich vor. Wie dem auch sei, kehren wir zurück zu unseren anderen Paradoxa. Ich möchte, daß ihr versucht, die Antworten auf folgende Fragen zu finden :

1. Rasiert sich der Barbier oder nicht ?

2. Wohnt der Bürgermeister von Arkadien in Arkadien oder nicht ?

3. Was soll das Krokodil tun, wenn man ihm sagt, es werde das Kind nicht zurückgeben ?

4. Wie kommt man aus dem Russellschen und aus dem Cantorschen Paradoxon heraus ?"

Bevor Sie weiterlesen : Wie würden Sie diese 4 Fragen beantworten ?

Die Erläuterungen des Zauberers : » Ich kann nicht mal die erste beantworten«, sagte Annabel. »Mir leuchtet nicht ein, wie sich der Barbier rasieren oder nicht rasieren könnte, ohne daß man dabei zum Widerspruch kommt, doch muß er das eine oder andere tun. Ich weis nicht, was ich denken soll. Stimmt vielleicht mit der Logik etwas nicht ?« »Im Gegenteil !« lachte der Zauberer. » Die Lösung ist so offensichtlich, daß es verblüffend ist, wie jeder mit diesem Paradoxon hereingelegt werden kann ; dies ist auch schon sehr intelligenten Leuten passiert. Sie enthüllt ein interessantes psychologisches Merkmal, das leider zu weit verbreitet ist.« »Spannen Sie uns nicht auf die Folter«, sagte Alexander. »Was ist die Auflösung des Barbier - Paradoxons?« »Ich gebe euch einen Tip« , sagte der Zauberer. »Angenommen, ich sage euch, ein Mann sei mehr als 1,80 m groß und auch weniger als 1,80 m groß. Wie würdet ihr das erklären ?« »Ich würde sagen, das ist nicht möglich«, antwortete Alexander. »Und nun, fällt euch nicht jetzt etwas ein ?« »Sagen Sie mir bitte nicht«, sagte Annabel, »daß die Lösung darin besteht, die Tatsache abzustreiten, daß es einen solchen Barbier gibt?« »Aber natürlich !« erwiderte der Zauberer. »Was sonst ? Ich habe euch eine widersprüchliche Auskunft über einen bestimmten Barbier gegeben und von euch verlangt, den Widerspruch zu erklären. Die einzige Erklärung ist, daß das, was ich euch gesagt habe, nicht wahr ist !« »Ich habe nie daran gedacht !« sagte Annabel. »Ich auch nicht« , fügte Alexander hinzu. »Ganz recht !« sagte der Zauberer. » Das ist ja das psychologische Merkmal, von dem ich sprach - die Neigung, daran zu glauben, was einem gesagt wird. « »Werden die anderen Paradoxa auf die gleiche Art und Weise gelöst ?« fragte Annabel. »Mehr oder weniger«, antwortete der Zauberer. Betrachten wir sie einzeln nacheinander. Was den Bürgermeister von Arkadien betrifft, so kann er sich dem Gesetz nicht unterwerfen, da das Gesetz widersprüchlich ist. Entschließt sich der Bürgermeister, in Arkadien zu wohnen, so bricht er das Gesetz, da nur die nicht am Ort des Amtssitzes wohnenden Bürgermeister in Arkadien wohnen dürfen. Wohnt er außerhalb von Arkadien, so handelt er wieder gegen das Gesetz, da ihn das Wohnen außerhalb des Arbeitsortes zu einem Bürgermeister macht, der wiederum in Arkadien wohnen muß. Somit ist es für ihn logisch unmöglich, dem Gesetz zu gehorchen. Dies bildet nicht das Paradoxon; es bedeutet bloß, daß das Gesetz inkonsistenz ist. Bei dem Krokodil-Paradoxon lautet die Lösung, daß das Tier einfach nicht in der Lage ist, das zu tun, was es versprochen hat.

Nun, das Russelsche und das Cantorsche Paradoxon beunruhigen mehr und müssen ernsthafter betrachtet werden, da sie uns zeigen, daß etwas mit unserer Art zu denken grundsätzlich falsch ist. Was ich meine, ist folgendes : Scheint es nicht offensichtlich zu sein, daß es für eine gegebene Eigenschaft die Menge aller Dinge gibt, die diese Eigenschaft besitzen ?» «Das würde ich schon sagen!» erwiderte Annabel. «Das scheint mir doch einleuchtend zu sein», sagte Alexander. «Darin liegt ja das Problem!» sagte der Zauberer. «Dieses Prinzip - bekannt als das unbegrenzte Abstraktionsprinzip ( auch bekannt als das Fregesche Komprehensionsaxiom), d.h. das Prinzip, daß jede Eigenschaft die Menge aller Dinge bestimmt, die diese Eigenschaft besitzen - erscheint in der Tat selbstverständlich, doch es führt zum Widerspruch !» «Wieso ?» fragte Annabel. «Es führt sowohl zum Russellschen als auch zum Cantorschen Paradoxon. Nehmen wir an, daß es wirklich so ist, daß für jede Eigenschaft eine Menge aller Dinge existiert, die diese Eigenschaft besitzen. Nun betrachten wir die Eigenschaft, eine gewöhnliche Menge zu sein. Dann muß es die Menge B aller gewöhnlichen Mengen geben, und schon haben wir das Russellsche Paradoxon : die Menge B kann weder ein Element von sich selbst sein noch keine Element von sich selbst sein, ohne daß ein Widerspruch vorliegt. Zum Cantorschen Paradoxon führt es auch, da wir die Eigenschaft nehmen können, eine Menge zu sein; dann existiert auch die Menge aller Mengen. Und diese Menge kann einerseits beliebig groß sein, andererseits gibt es für jede beliebige Menge - nach dem Cantorschen Satz - eine größere Menge, so daß es eine Menge gibt, die größer ist als die Menge aller Mengen, was zum Widerspruch führt. Daher besteht der Irrtum des Cantorschen Paradoxons darin, daß so etwas wie eine Menge aller Mengen existierte, während der Trugschluß des Russellschen Paradoxons in der Annahme liegt, daß es so etwas wie eine Menge aller gewöhnlichen Mengen gebe. Diese beiden Mengen können einfach nicht existieren. Das unbegrenzte Abstraktionsprinzip, das einem so einleuchtend erscheint, führt jedoch zu diesen Paradoxa und kann deshalb nicht wahr sein. Die Tatsache, daß es wahr zu sein scheint, ist das, was ich gemeint habe, als ich sagte, daß etwas mit unserer naiven Art, über Mengen zu denken, grundsätzlich falsch ist. Die Entdeckung dieser Paradoxa war anfangs sehr beunruhigend, da sie den Verdacht weckten, daß die Mathematik mit der Logik nicht in Einklang zu bringen sei. Eine Erneuerung der Grundlagen der Mathematik wurde erforderlich. Darüber werde ich euch nächstes Mal mehr erzählen."


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