paradox

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Das Hyperspiel

» Kennt ihr das Hyperspiel-Paradoxon?« frage der Zauberer eines Tages. Weder Annabel noch Alexander hatten je davon gehört. »Es handelt sich dabei um ein reizvolles Paradoxon, das in den Achtzigern von dem Mathematiker William Zwicker entwickelt wurde. Es bereitet nicht nur als Paradoxon vergnügen, sondern führt obendrein zu einem völlig neuen Beweis des Cantorschen Satzes.« »Das klingt interessant!« sagte Annabel. »Nun, zunächst zum Paradoxon«, sagte der Zauberer. "Wir beschränken uns auf die Spiele, die für nur zwei Spieler vorgesehen sind. Man nennt ein Spiel normal, wenn es nach einer endlichen Anzahl von Zügen aufhört. Ein einfaches Beispiel ist Tic-Tac-Toe; es wird nach höchstens neun Zügen beendet. Schach ist ebenfalls ein normales Spiel; die 50-Züge -Regel gewährleistet, daß das Spiel nicht endlos dauert. Dame ist auch ein normales Spiel. Jedes Kartenspiel, das ich kenne, ist normal. Schach ist möglicherweise nicht normal, wenn es auf einem unendlichen Brett gespielt wird. Und nun zum Hyperspiel. Es funktioniert so : Der erste Zug besteht darin zu erklären, welches normale Spiel gespielt wird. Angenommen, einer von euch beiden spielt gegen mich, und ich habe den ersten Zug. Dann muß ich erklären, welches Spiel gespielt werden soll. Ich könnte sagen: <Laß uns Schach spielen>, wobei du den ersten Schachzug machst, und wir spielen weiter, bis die Schachpartie zu Ende ist. Oder : < Spielen wir doch Tic-Tac-Toe.> - Ich kann mir ein beliebiges normales Spiel aussuchen. Es ist mir allerdings nicht gestattet, ein nicht-normales Spiel zu wählen; es muß ein normales Spiel sein.

Nun stellt sich die Frage, ob das Hyperspiel normal ist oder nicht.» Die beiden dachten eine Weile nach und kamen zum Schluß, daß es normal sein müsse. «Warum?» fragte der Zauberer. «Unabhängig davon», erklärten die beiden, «welches normale Spiel gewählt wird, muß dieses schließlich enden, da es normal ist. Dies beendet somit auch das Hyperspiel, das gerade gespielt wird. Daher muß dieser Prozeß enden, unabhängig davon, welches normale Spiel gewählt wurde. Somit muß das Hyperspiel normal sein.» «So weit so gut», sagte der Zauberer, «aber dann taucht das eigentliche Problem auf. da gerade festgestellt wurde, daß das Hyperspiel ein normales Spiel ist und da ich mir bei meinem ersten Zug ein beliebiges normales Spiel aussuchen kann, so kann ich auch sagen : <Laß uns Hyperspiel spielen.> Dann könntest Du darauf sagen : <In Ordnung, spielen wir Hyperspiel> Und ich darauf : <Okay, laß uns Hyperspiel spielen>, und dieser Vorgang kann beliebig oft wiederholt werden. Daher muß das Hyperspiel nicht enden, was schließlich bedeutet, daß das Hyperspiel nicht normal ist! Und ihr habt doch bewiesen, daß es normal ist ! Dies ist ein Paradoxon." Weder Annabel noch Alexander konnten es auflösen.

»Der springende Punkt liegt darin«, sagte der Zauberer, " daß der allgemeine Begriff des Spiels nicht wohldefiniert ist. Bei gegebener Menge S wohldefinierter Spiele läßt sich tatsächlich das Hyperspiel für diese Menge S definieren, doch kann das Hyperspiel selbst kein Spiel von S sein. Jemand - ich glaube, Hegel - hat einmal ein Paradoxon als eine auf dem Kof stehende Wahrheit definiert. Es kommt sehr oft vor, daß etwas, was sich zunächst als ein Paradoxon ergibt, modifiziert wird und dadurch zu einer wichtigen Wahrheit führt. Das ist mit Zwickers Paradoxon des Hyperspiels auch der Fall. Eine Änderung der Argumentation führt zu einem Interessanten Satz, der seinerseits einen völlig neuartigen Beweis des Cantorschen Satzes liefert. Ruft euch kurz den Cantorschen Beweis in Erinnerung. Es liegt eine Menge A vor, und jedem Element x von A ist eine Teilmenge Sx von A zugewiesen. Der Grundgedanke des Beweises besteht darin, daß man eine Teilmenge C von A derart bildet, daß sie für jedes x von Sx verschieden ist. Cantor hat C als die Menge aller solcher Elemente x von A genommen, so daß x nicht ein Element von Sx ist. Zwicker hat hingegen eine völlig andere Menge Z gefunden, die sich von jeder Menge Sx unterscheidet. Dadurch - ähnlich wie bei Cantor - läßt sich zeigen, daß es nicht möglich ist, A in eine eindeutige Beziehung zu der Menge aller Teilmengen von A zu setzen, mit demUnterschied, daß die neue Menge Z von Zwicker gänzlich verschieden ist von der Menge C von Cantor. Zwicker ist folgendermaßen verfahren : Bei gegebener Vorschrift, die jedem x in A die Teilmenge Sx zuweist, wird ein Pfad definiert als eine beliebige endliche oder unendliche Folge x,y,z,....der Elemte von A, so daß für jedes Element w der Folge entweder w das letzte Element ist oder das nächste Element ein Element von Sw ist. Ein Pfad wird somit folgendermaßen gebildet : Man fange mit einem beliebigen Element x von A an. Wenn Sx leer ist, endet der Pfad. Wenn nicht, dann nehme man ein Element y on Sx. Dann liegt die Folge (x,y) vor, die aus zwei Elementen besteht. Ist Sy leer, so ist der Pfad zu Ende. Wenn dies nicht zutrifft, so nehme man ein Element z von Sy und erhalte die Folge aus drei Elementen (x,y,z). Wenn Sz leer ist, dann hat man das Ende des Pfades erreicht, und wenn nicht, nehme man ein Element w und bilde das vierte Elemet des Pfades und setze dies in gleicher Weise fort, bis man entweder zu einem Sv kommt, das leer ist, in welchem Falle der Pfad endet, oder aber das ganze endlos fortfährt, so daß ein unendlicher Pfad gebildet wird. ( Ist beispielsweise y ein Element von Sx und x ein Element von Sy, dann ist (x,y,x,y,x,y,....) ein unendlicher Pfad. Sollte sich x in Sx befinden, so wäre (x,x,x,x,...) auch ein unendlicher Pfad.) Nun gibt es entweder bei gegebenem beliebigem x einen unendlichen Pfad, der mit x anfängt, oder nicht. Man bezeichnet ein x also als normal, wenn kein unendlicher Pfad existiert, der mit x beginnt. Daher muß jeder mögliche mit x beginnende Pfad für ein normales x enden. Nun sei Z die Menge aller normalen Elemente. Dann gilt der Satz Z /Zwickerscher Satz) : Die Menge Z ist von Sx verschieden für jedes x.

Der Beweis», sagte der Zauberer, «besteht in der offensichtlichen Modifizierung eines Arguments, das das Paradoxon des Hyperspiels ausmacht."

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Beweisen Sie den Zwickerschen Satz

»Achtet darauf«, sagte der Zauberer, »daß die Zwickersche Menge Z keine Beziehung zur Cantorschen Menge C hat. Die Menge der normalen Elemente hat keinen besonderen Bezug zu der Menge der x, die nicht zu Sx gehören. Der Cantorsche Beweis stützt sich im Grunde auf den Begriff der Negation. C ist die Menge aller solchen x, die nicht Elemente von Sx sind. Der Beweis von Zwicker beruht nicht auf Negation, sondern auf dem Begriff der Endlichkeit.« »Ich habe den Eindruck«, sagte Annabel, »daß der Begriff der Negation irgendwie in dem Zwickerschen Beweis versteckt ist. Er definiert x als normal, wenn es keinen unendlichen Pfad gibt, der mit x beginnt. Ist dies nicht der implizite Gebrauch einer Negation ?« »Dies ist eine scharfsinnige Beobachtung«, sagte der Zauberer, »aber die Verwendung der Negation ist nicht wirklich wesentlich. Man hätte auch einfach sagen können, x sei normal, wenn alle Pfade, die mit x beginnen, endlich sind.«

Die Lösung

Es ist zu zeigen, daß für kein x die Menge Z der normalen Elemente der Menge Sx gleicht. Dementsprechend soll gezeigt werden, daß für kein x Sx eine Menge aller normalen Elemente ist. Angenommen, ein x ist so beschaffen, daß Sx die Menge aller normalen Elemente ist. Dann kommt man zum Widerspruch wie folgt : Zuerst zeigt man, daß x normal sein muß. Nun wird ein beliebiger Pfad betrachtet, der mit x beginnt. Ist Sx leer, so endet der Pfad mit x (da ein beliebiges weiteres Element y ein Element von Sx sein muß). Damit kann man weiterhin annehmen, daß Sx nicht leer ist. Dann muß das zweite Element y des Pfades aus Sx sein, da es normal sein muß ( da nur normale Elemente in Sx sein können). Da y normal ist, muß jeder Pfad enden, der mit y beginnt; daher muß jeder Pfad enden, der mit der Folge (x,y,...) beginnt, und somit muß x normal sein. Da x normal ist und Sx die Menge aller normalen Elemente, muß x ein Element von Sx sein. Damit gibt es den unendlichen Pfad ( x,x,x,...) so wie das unendliche Spiel ( »Laß uns Hyperspiel spielen«, »Laß uns Hyperspiel spielen«, » Laß uns Hyperspiel spielen«, ....) gibt, und das führt zum Widerspruch. Deswegen muß die Menge aller normalen Elemente von jedem Sx verschieden sein.


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Widersprüchlich ?

»Neulich dachte ich über ein Paradoxon nach«, sagte Annabel. »Es betrifft Ihre Erklärung des Cantorschen Beweises mit dem Beispiel des Buches der aufgelisteten Mengen. Erinnern Sie sich daran ? Sie haben ein Buch mit abzählbar vielen Seiten beschrieben, die der Reihe nach nummeriert waren (Seite 1, Seite 2 ...), wobei sich auf jeder Seite die Beschreibung einer Menge postiver ganzer Zahlen befand. Die Aufgabe bestand darin, eine Menge zu beschreiben, die auf keiner der Seiten des Buches beschrieben wurde. Erinnern Sie sich noch ? « »Selbstverständlich erinnere ich mich daran«, erwiderte der Zauberer. »Sehr gut, und wenn Sie sich daran erinnern: Ihre Lösung lautete : <Die Menge aller solchen n, so daß n nicht ein Element der Menge ist, die auf Seite n beschrieben ist.> « »So ist es«, sagte der Zauberer. »Nun lautet mein Paradoxon folgendermaßen : Angenommen, diese Beschreibung befindet sich auf einer der Seiten des Buches - beispielsweise auf Seite 13. Ist dann die 13 ein Element der beschriebenen Menge oder nicht ? Stellen Sie sich vor, wir betrachten die Menge S aller Zahelen n, die nicht Elemente der auf der Seite n beschriebenen Menge sind. Im besonderen gehört die Zahl 13 nur dann zu der Menge S, wenn sie nicht zu der Menge gehört, die auf Seite 13 beschrieben ist, so daß man zu dem Widerspruch gelangt, daß die 13 genau dann zu der Menge S gehört, wenn sie nicht zu ihr gehört ! Wie läßt sich das erklären ?« »Das ist ja geschickt !« sagte der Zauberer mit einem breiten Lächeln. »Das gefällt mir sehr gut !« »Was ist aber die Lösung ?« drängte Annabel.

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Bevor Sie weiterlesen : Haben Sie eine Idee, wie man dieses Paradoxon löst ?

Lösung der Aufgabe 1. »Die Erklärung lautet folgendermaßen«, sagte der Zauberer. " Betrachtet den folgenden Ausdruck :

(1) Die Menge aller solchen n, so daß n kein Element der auf Seite n beschriebenen Menge ist.

Nun, wenn sich (1) auf einer Seite - beispielsweise auf Seite 13 - befindet, dann ist es keine konsistente Beschreibung irgendeiner Menge, sondern eine Pseudobeschreibung.» «Wieso denn ?» fragte Annabel. «Wenn die Beschreibung konsistent wäre, dann würde sie zum Widerspruch führen - zu dem Widerspruch, den du so treffend beschrieben hast.» «Diese Erklärung kommt mir nicht sehr überzeugend vor», sagte Annabel. «Versuch einmal, es dir auf anderee Weise vorzustellen», sagte der Zauberer. «Damit eine Beschreibung einer Menge von Zahlen konsistent ist, muß sie eine eindeutige Regel darstellen - ein Kriterium, nach dem Zahlen Elemente der Menge sind oder nicht. Wenn die Beschreibung (1) sich auf Seite 13 befindet, dann sagt sie für jedes n außer der 13, ob n ein Element der Menge ist oder nicht. Sie sagt jedoch nicht aus, ob die 13 zu der Menge gehört oder nicht. Nun, folgendes ist eine konsistente Beschreibuung, auch wenn sie sich auf Seite 13 befindet:

(2) Die Menge aller von 13 verschiedenen n, die nicht zu der Menge gehören, die auf der Seite n beschrieben ist.

Demnach ist die Zahl 13 kein Element der Menge, die auf Seite 13 beschrieben ist. Auch das Folgende, wenn es auf Seite 13 beschrieben ist, ist eine konsistente Beschreibung :

(3) Die Menge aller von 13 verschiedenen n, die keine Elemente der Menge sind, die auf der Seite n beschrieben ist, zusammen mit der 13.

Diese Beschreibung ist konsistent, da dort beschrieben ist, was man mit der 13 tun soll - die 13 soll in der Menge inbegriffen sein. Somit sind (2) und (3) konsistente Beschreibungen, auch wenn sich eine von beiden auf Seite 13 befindet, während (1), falls sie auf Seite 13 erscheint, keine konsistente Beschreibung ist. Das Interessante daran ist, daß (1) konsistent ist, vorausgesetzt, sie befindet sich auf keiner der Seiten des Buches ! Wird also diese Beschreibung außerhalb des Buches gegeben, so ist sie konsistent - unter der Voraussetzung, daß alle Beschreibungen im Buch konsistent sind. » In diesem Augenblick schaute der Zauberer gedankenverloren für einige Minuten in die Ferne. Als er sich wieder gesammelt hatte, sagte er : «Wißt ihr, ihr habt mich auf ein noch verwirrenderes Paradoxon gebracht ! Gut, betrachtet nun ein anderes Buch mit abzählbar vielen Seiten; auf jeder Seite befindet sich entweder eine konsistente Beschreibung oder eine Pseudobeschreibung einer Menge positiver ganzer Zahlen. Im Gegensatz zu dem zuletzt betrachteten Buch ist jetzt erlaubt, daß auf einigen Seiten Pseudobeschreibungen erscheinen dürfen. Nun, die folgende Beschreibung ist sicherlich konsistent : Die Menge aller solchen n, so daß die Beschreibung auf Seite n konsistent ist und n kein Element der Menge ist, die auf Seite n beschrieben ist. Diese Beschreibung muß konsistent sein, da sie eine eindeutige Regel liefert, nach der Zahlen Elemente der derart beschriebenen Menge S sind oder nicht. Betrachten wir eine beliebige Zahl n. Die Beschreibung auf Seite n ist entweder konsistent oder nicht. Wenn dies nicht der Fall ist, dann ist n automatisch aus S ausgeschlossen. Wenn doch, dann beschreibt die Beschreibung auf Seite n tatsächlich eine Menge, da es wirklich bestimmt ist, ob n das Element dieser Menge ist und auch entsprechend bestimmt, ob n ein Element von S ist oder nicht. Daher ist die obengenannte Beschreibung tatsächlich konsistent. Nun, was passiert, wenn sich diese konsistente Beschreibung auf Seite 13 befindet ? Ist dann die 13 in der derart beschriebenen Menge enthalten oder nicht ? In beiden Fällen gelangt man zum Widerspruch, wie es Annabel gezeigt hat, und diesmal läßt sich das Paradoxon nicht dadurch auflösen, daß man sagt, die Beschreibung sei nicht konsistent, da ich euch gerade bewiesen habe, daß sie es ist ! Nun ?» «Sie können einem ja das Leben schwermachen !» erwiderte Alexander. «Ich bin mir dessen bewußt", sagte der Zauberer mit einem schelmischen Lächeln

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Nun, wie kommt man diesmal aus der Zwickmühle ? (Die Lösung ist am Ende des Kapitels angegegen.)

Die Beziehung zum Berryschen Paradoxon: »Mein Paradoxon«, sagte der Zauberer, nachdem er die Lösung verraten hatte, »hat im Grunde einen engen Bezug zum Berryschen Paradoxon - es ist eine Cantorsche Version davon.« »Was ist das Berrysche Paradoxon ?« fragte Annabel. »Es handelt sich um folgendes : je größer Zahlen werden, um so mehr Wörter braucht man zu ihrer Beschreibung.« »Das leuchtet mir ein«, meinte Alexander. »Und so muß es für jedes positive n Zahlen geben, die nicht mit weniger als n Wörtern beschreiben werden können. « »Das glaub`ich Ihnen gerne«, sagte Alexander. »Dann muß es für ein beliebiges n die kleinste Zahl geben, die nicht mit weniger als n Wörtern beschrieben werden kann. Stimmt es ?« »Sicherlich«, erwiderte Annabel. "Nun gut, betrachtet die folgende Beschreibung :

Die kleinste Zahl die mit weniger als elf Wörtern nicht beschreibbar ist.

»Dies beschreibt eine ganz bestimmte Zahl, oder ?« fragte der Zauberer. Die beiden stimmten dem zu. »Würdert ihr bitte die Wörter dieser Beschreibung zählen ?« bat der Zauberer. Sie taten es und stellten mit Entsetzen fest, daß deren Zahl zehn war. »Und somit kann die kleinste Zahl, die nicht mit weniger als elf Wörtern zu beschreiben ist, mit zehn Wörtern beschrieben werden. Würdet ihr mir bitte erklären, wie das zustande kommen kann ?« sagte der Zauberer.

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Ach nein ! Wie konnte das sein ?

»All diese Paradoxa«, sagte der Zauberer, »erinnern mich an eine äußerst hübsche Geschichte, bei der ein scharfsinniger Student von Georg Cantor den Satan selbst überlistete. Kennt ihr die Geschichte vom Satan, Cantor und der Unendlichkeit ?« Weder Annabel noch Alexander kannten sie. »Dann werde ich sie euch bei eurem nächsten Besuch erzählen.«

Lösungen

1. Die Lösung befindet sich unmittelbar nach der Aufgabenstellung.

2. Die Erklärung besteht darin, daß der Begriff der konsistenten Beschreibung nicht wohldefiniert ist. Man kann eine konsistente Beschreibung nur in einer präzis formulierten Sprache definieren, aber das Deutsche ist keine solche Sprache. Der Sachverhalt ist ähnlich wie beim Begriff der Wahrheit. Der Logiker Alfred Tarski hat gezeigt, daß die Wahrheit von Sätzen in einer Sprache mit ungenügender Strenge nicht innerhalb dieser Sprache definierbar ist. Zum Beispiel kann die Wahrheit für deutsche Sätze im Deutschen nicht definiert werden : wenn man es könnte, so erhielte man den widersprüchlichen Satz »Dieser Satz ist nicht wahr.«

3. Die Lösung ist praktisch mit der vorigen Aufgabe identisch. Der Begriff der Beschreibung ist nicht wohldefiniert.

HIER GEHTS ZU SATAN, CANTOR UND DIE UNENDLICHKEIT

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