Gödel

Ohne Gödel hätte man wahrscheinlich niemals die Nichtstandardzahlen entdeckt, welche erst eine Erklärung der Infinitesimalrechnung ermöglichten, indem man zeigte, daß Differentiale wie dx oder dt nur durch reziproke Nichtstandardzahlen zahlentheoretisch dargestellt werden können.

Gödels Unvollständigkeitssatz
GEB



Abstract:
Übersicht und grundsätzliche Erläuterungen zum Gödel'schen Unvollständigkeitsbeweis.


Das Verständnis des Gödel'schen Satzes wird erleichtert, wenn man von der Epimenides-Paradoxie in der Quine'schen Form ausgeht: Ergibt eine Unwahrheit, wenn sein Zitat vorangeht ergibt eine Unwahrheit, wenn sein Zitat vorangeht. Einem Satz das Zitat seiner selbst voranzustellen, wird auch quinieren genannt. Das umgangssprachliche Zitat einer Unwahrheit ihrerselbst hat Gödel in einen Satz der Zahlentheorie übertragen. Sein Beweis läßt sich in einige wesentliche Schritte unterteilen:


Zahlenkalkül
Als Zahlenkalkül werde die mit den Mitteln der Prädikatenlogik formalisierte Arithmetik bezeichnet (vgl. Peano-Axiome).
Gödelisierung
Allen Ausdrücken des Zahlenkalküls werden (umkehrbar eindeutig) Zahlen zugeordnet. D.h. jedem Satz des Kalküls entspricht genau eine Satz-Zahl, die Gödelnummer. Auf die Umgangssprache bezogen, entspricht die Gödelnummer dem Zitat eines Satzfragments.
Beweispaar
Die Eigenschaft, ein Satz des Kalküls zu sein, wird (innerhalb des Kalküls) ausgedrückt durch Angabe eines ableitbaren Beweispaares: B(a, a'). In ihm steht a für die Gödelnummer der Ableitung und a' für die Gödelnummer des letzten Schrittes der Ableitung; also des Satzes selbst. a' ist eine Satz-Zahl des Zahlenkalküls wird ausgedrückt durch: . D.h. es gibt eine Ableitung mit der Gödelnummer a, deren letzter Schritt die Gödelnummer a' hat. Es ist wichtig, zu beachten, daß ein Beweispaar keinen (ableitbaren) Satz repräsentiert. Ein Beweispaar erlaubt es lediglich, mit den Mitteln des Kalküls über die Ableitbarkeit eines Satzes zu sprechen.


Substitution
Es werden alle freien Variablen eines Satzes durch eine Zahl ersetzt. Dabei ist die Beziehung zwischen
der ursprünglichen Gödelnummer a,
der Zahl a', die eingesetzt wird,
und der sich daraus ergebenden Gödelnummer a''
ableitbar. Diese Substitutions-Operation werde abgekürzt durch: E(a, a', a''). Umgangssprachlich wird einem Prädikat ein Subjekt vorangestellt.
Quinierung
Um einen Satz des Kalküls herzustellen, der über sich selbst spricht, ist eine Substitution mit der Gödelnummer des Satzes selbst vorzunehmen: E(a', a', a''). Diese selbstbezügliche Substitution folgt der Formulierung, die Quine der Epimenides-Paradoxie gab. Sie werde abgekürzt durch: Q(a'', a'). D.h. a' ist die Quinierung von a'' (in E war es umgekehrt). Wie der Vergleich mit der allgemeinen Substitution zeigt, hat a'' bei der Quinierung eine doppelte Bedeutung! Umgangssprachlich stellt die Quinierung einem Prädikat das Zitat seiner selbst voran.
Um einen Satz zu quinieren, in dem die Quinierung erwähnt wird, ist die Quinierung mit dem entsprechenden Beweispaar zu verbinden:



Dieser Satz wird Gödels Onkel genannt. Umgangssprachlich bedeutet er: ergibt eine Unwahrheit, wenn quiniert.

Gödels Satz
Sei u die Gödelnummer von Gödels Onkel. Dann ergibt seine Quinierung Gödels Satz G:


G's Gödelnummer a' ist die Quinierung von u. G sagt aus, daß es kein a gibt, das mit der Quinierung von u ein Beweispaar bildet. D.h. G sagt von sich selbst aus, kein Satz des Zahlenkalküls zu sein! Unter der Voraussetzung, daß der Zahlenkalkül widerspruchsfrei ist, kann G nur wahr sein. D.h. es gibt einen wahren Satz des Zahlenkalküls, der von sich selbst behauptet, daß er nicht ableitbar ist!! Umgangssprachlich formuliert lautet Gödels Ergebnis: ergibt eine Unwahrheit, wenn quiniert ergibt eine Unwahrheit, wenn quiniert. Dieser Satz entspricht der ursprünglichen Quine'schen Version der Epimenides-Paradoxie.


Ingo Tessmann
Sun Feb 18 20:15:31 MEZ 1996

Kurt Gödel (1906 - 1978)

Der in Brünn (heute Brno) geborene österreichische Mathematiker und Logiker Kurt Gödel war von 1933 bis 1938 Privatdozent an der Universität Wien. Er emigrierte 1938 in die USA und wirkte ab 1953 als Professor für Mathematik in Princeton. Gödel gehörte in Wien dem Wiener Kreis an.
Von Gödel stammen drei der grundlegendsten Resultate der Logik, der nach ihm benannte Vollständigkeitssatz, der nach ihm benannte Unvollständigkeitssatz sowie der Nachweis der relativen Widerspruchsfreiheit von Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese zu den übrigen Axiomen der Mengenlehre.

Darüber hinaus wurde von ihm eine Vielzahl wichtiger Einzelresultate der Logik gewonnen, u. a. zum klassischen und intuitionistischen Aussagenkalkül und zum Entscheidungsproblem der Prädikatenlogik.

Im Jahre 1931 veröffentlichte Kurt GÖDEL den nach ihm benannten Unvoll­ständigkeitssatz. Dieser besagt unter anderem, daß die Widerspruchsfreiheit eines Axiomensystems selbst zu jenen Aussagen gehört, die innerhalb dieses Systems unbeweisbar sind. - Die aus dem Jahre 1865 stammende MAXWELL'sche Elektrodynamik ist vermutlich niemals unter diesem Ge­sichtspunkt untersucht worden. Die diesbezügliche Analyse führt zu dem Ergebnis, daß die MAXWELL'sche Elektrodynamik - unter Einbeziehung ihrer physikalischen Interpre­tation - in sich widersprüchlich und daher in ihren erkenntnis­wissen­schaft­lichen Folgerungen wertlos ist.