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458 ist keine der magischen Kelchzahlen. Denn die magischen Kotzekelchzahlen zwischen 1 und 1000 ergeben sich aus der Anzahl der Kelche, die notwendig sind, um eine schöne Pyramide aus Kelchen zu bauen, derart, dass ein Kelch immer in der Mitte auf vier Kelchen der darunter liegenden Kelchschicht steht. Daher hat eine Kelchpyramide mit n Schichten
P(n) = 1² + 2² + 3² + ... + n²
Kelche. DerSagenumwobeneKelchDerKotze gehorcht der folgenden Pyramidenformel:
P(n) = n*(n+1)*(2*n+1)/6
Beweis (durch vollständige Induktion):
n=1:
P(1) = 1*(1+1)*(2*1+1)/6 = 2*3/6 = 1
Offenbar richtig: Für eine Pyramide mit einer Ebene braucht man nur einen Kelch.
n->n+1:
P(n) + (n+1)²
= [n*(2*n+1)/6+(n+1)]*(n+1)
= [2*n²+n+6*n+6]/6*(n+1)
= [2*n²+7*n+6]/6*(n+1)
= [(n+2)*(2*n+3)]/6*(n+1)
= [((n+1)+1)*(2*(n+1)+1)]/6*(n+1)
= [(n+1)*((n+1)+1)*(2*(n+1)+1)]/6
= P(n+1)
quod erat demonstrandum.
Damit bekommen wir die folgenden magischen Kelchzahlen zwischen 1 und 1000:
Anzahl Pyramidenebenen|Anzahl Kelche
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1...................................|1
2...................................|5
3...................................|14
4...................................|30
5...................................|55
6...................................|91
7...................................|140
8...................................|204
9...................................|285
10.................................|385
11.................................|506
12.................................|650
13.................................|819
also 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819.
Also ist 458 keine magische Kelchzahl. So.
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