Gödel

Kurt Gödel (1906 - 1978)

Der in Brünn (heute Brno) geborene österreichische Mathematiker und Logiker Kurt Gödel war von 1933 bis 1938 Privatdozent an der Universität Wien. Er emigrierte 1938 in die USA und wirkte ab 1953 als Professor für Mathematik in Princeton. Gödel gehörte in Wien dem Wiener Kreis an.
Von Gödel stammen drei der grundlegendsten Resultate der Logik, der nach ihm benannte Vollständigkeitssatz, der nach ihm benannte Unvollständigkeitssatz sowie der Nachweis der relativen Widerspruchsfreiheit von Auswahlaxiom und Kontinuumshypothese zu den übrigen Axiomen der Mengenlehre.

Darüber hinaus wurde von ihm eine Vielzahl wichtiger Einzelresultate der Logik gewonnen, u. a. zum klassischen und intuitionistischen Aussagenkalkül und zum Entscheidungsproblem der Prädikatenlogik.

GÖDELs Unvollständigkeitssatz

Der Unvollständigkeitssatz von Kurt GÖDEL wird allgemeinverständlich und sehr ausführlich besprochen in dem preisgekrönten Buch von HOFSTADTER (1992). Dort heißt es (Zitat von Seite 19, Zeile 2 ff):

„In seiner absolut reinsten Fassung stellt Gödels Entdeckung die Über­setzung einer uralten philosophischen Paradoxie in die Sprache der Mathematik dar. Es handelt sich um die sogenannte Epimenides- oder Lügner-Paradoxie. Epimenides war ein Kreter, der einen unsterblichen Satz aussprach: ,Alle Kreter sind Lügner.' Eine verschärfte Version dieser Aussage lautet einfach: ,Ich lüge' oder: ,Diese Aussage ist falsch.'“ (Ende des Zitats)

HOFSTADTER führt weiter aus (Zitat von Seite 23, Abs. 3 ff):

„In diesen Paradoxien steckt anscheinend immer der gleiche Haken:
Selbstbezüglichkeit oder „Seltsame-Schleifen-Bildung“. Wenn man sich also das Ziel setzt, alle Paradoxien zu eliminieren, warum versucht man nicht, Selbstbezüglichkeit und alles was dazu führen könnte, zu elimi­nieren? Das ist nicht so leicht wie es scheint, denn unter Umständen ist es schwierig, festzustellen, wo Selbstbezüglichkeit auftritt. Sie kann sich über eine ganze Seltsame Schleife mit verschiedenen Schritten aus­breiten wie in der ,erweiterten' Fassung des Epimenides, die an Eschers Zeichnen erinnert:

Der folgende Satz ist falsch.
Der vorhergehende Satz ist richtig.“

Ohne Gödel hätte man wahrscheinlich niemals die Nichtstandardzahlen entdeckt, welche erst eine Erklärung der Infinitesimalrechnung ermöglichten, indem man zeigte, daß Differentiale wie dx oder dt nur durch reziproke Nichtstandardzahlen zahlentheoretisch dargestellt werden können.

Im Jahre 1931 veröffentlichte Kurt GÖDEL den nach ihm benannten Unvoll­ständigkeitssatz. Dieser besagt unter anderem, daß die Widerspruchsfreiheit eines Axiomensystems selbst zu jenen Aussagen gehört, die innerhalb dieses Systems unbeweisbar sind. - Die aus dem Jahre 1865 stammende MAXWELL'sche Elektrodynamik ist vermutlich niemals unter diesem Ge­sichtspunkt untersucht worden. Die diesbezügliche Analyse führt zu dem Ergebnis, daß die MAXWELL'sche Elektrodynamik - unter Einbeziehung ihrer physikalischen Interpre­tation - in sich widersprüchlich und daher in ihren erkenntnis­wissen­schaft­lichen Folgerungen wertlos ist.