Differentialgleichung

Kurzbeschreibung:

Eine Gleichung, in der die Ableitung
einer Funktion vorkommt (z.B.
y' = a·y), bezeichnet man als
Differenzialgleichung. Gesucht werden
dabei alle Funktionen, die die
Gleichung erfüllen.

Was ist eine Differenzialgleichung?
Lösen der Differenzialgleichung y' = a·y
(eventuell:) Lösen von einfachen Differenzialgleichugnen durch Trennung der Variablen

Zunächst betrachten wir ein Problem aus der Physik, welches durch eine partielle Differentialgleichung - die
Wärmeleitungsgleichung - mathematisch beschrieben werden kann. Die Analyse dieser Aufgabe motiviert die
Untersuchung der Rand- und Eigenwertaufgaben für gewöhnliche Differentialgleichungen. Wir werden sehen,
dass eine vollständige Analyse der Wärmeleitungsgleichung nur dann möglich ist, wenn wir die folgenden
Fragen für gewöhnliche Differentialgleichungen beantworten können:

1. Wann existiert die Lösung einer Randwertaufgabe? Unter welchen Umständen ist diese Lösung eindeutig?
Die Anwort auf diesen Fragen bildet den Inhalt des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes für Randwertaufgaben.

2. Wann darf man eine Funktion bezüglich der Eigenfunktionen einer Eigenwertaufgabe entwickeln? In
welchem Sinne konvergieren die entsprechenden Reihen? Die Anwort auf diesen Fragen bildet den Inhalt der
Entwicklungssätze für Eigenwertaufgaben.