Vanillecremekatastrophe

In einer Urne liegen drei weiße, zwei orange und eine schwarze Kugel. Man zieht blind eine Kugel, legt sie zurück und zieht erneut eine Kugel. Dieser Zufallsversuch lässt sich wie folgt mathematisch beschreiben:

Die Ergebnismenge S besteht aus allen möglichen Ergebnissen des Zufallsversuchs. Man kann sie in der Form S = (WW;WO;WS; OW;OO;OS; SW;SO;SS)angeben, wobei WS das Ergebnis »Im ersten Zug wurde eine weisse und im zweiten Zug eine schwarze Kugel gezogen«, ist.

Am zugehörigen Baumdiagramm kann man die Wahrscheinlichkeit P eines Ergebnisses bestimmen, indem man die Wahrscheinlichkeit längs des zugehörigen Pfades multipliziert (Pfadregel).

So ist P(WS) = 3/6 x 1/6 = 3/36 = 1/12

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung ist:

WW = 9/36
WO = 6/36
WS = 3/36
OW = 6/36
OO = 4/36
OS = 2/36
SW = 3/36
SO = 2/36
SS = 1/36

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten ergibt immer Eins oder 100 Prozent.

Eine Teilmenge der Ergebnismenge S nennt man Ereignis E. So ist E = (WS; OS; SS) ein Ereignis, in Worten: »Im zweiten Zug wird eine schwarze Kugel gezogen«.

Die Wahrscheinlichkeit von E erhält man, indem man die Wahrscheinlichkeiten der zu E gehörenden Ergebnisse addiert:

P(E) = 3/36 + 2/36 + 1/36 = 1/6

(Summenregel)




anderes Beispiel:

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten wird das Baumdiagramm schnell groß und unübersichtlich. Oft genügt es jedoch, nur einen Teilbaum zu zeichnen (HIER NICHT MÖGLICH) oder ihn sich vorzustellen.

Beispiel: Eine Schachtel enthält vier rote, zwei blaue und zwei grüne Spielsteine. Man zieht dreimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dabei im ersten und im dritten Zug einen roten Spielstein zu ziehen ?
Der vollständige Baum hätte 3 hoch 3 = 27 Pfade. Allerdings sind davon nur drei für die Bestimmung der Wahrscheinlichkeit interessant.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit beträgt:

4/8x3/7x2/6 + 4/8x2/7x3/6 + 4/8x2/7x3/6 = 21,4%