Quadratgleichung

In der heutigen Stunde haben sich wiederholt die folgenden Schwierigkeiten in ganz elementaren Bereichen ergeben:
(für die ich ja angetreten bin etwas dagegen zu unternehmen)
-Es besteht keine Vorstellung über Länge, Fläche und Volumen und ihre zugehörigen Dimensionen cm, m; (cm)(2), m(2); (cm)(3), m(3);
-So wurde bei der gefragten Fläche eines Ofenrohrs der Länge 2m und des Durchmessers von 14cm in ihr Heft geschrieben: »Das Ofenrohr habe eine Länge von 2m und einen Durchmesser von 14!m«, und sie verteidigte die 14m mit aller Heftigkeit. Der Lehrer habe sich sicher nicht geirrt und das sei korrekt so.
Ich wies sie auf die normalen Maße eines Ofenrohrs hin (Duchmesser mit 14cm kommt sogar hin), und meinte, diese Aufgabe weise wohl eher auf die Umrandung eines 2m hohen großen runden Schwimmbeckens hin, aber nein, sie beharrte darauf die 14m seien korrekt und es solle sich um ein Ofenrohr handeln.

Da gibt es also einen gewissen Eigensinn der den notwendigen realistischen physikalischen/mathematische Betrachtungen entgegensteht. Den gilt es zu mindern, abzubauen. Sie ist einsichtig, das dürfte gelingen. »Auch Lehrer machen Fehler« »Viel wichtiger als Fehler zu machen ist es Fehler erkennen zu können« Fehler sind wichtig, weil sie uns zeigen wie wir nicht realistisch denken» «Auch Schüler schreiben manchmal etwas Falsches von der Tafel ab» «Fehler können die Phantasie beflügeln" weil nun vielleicht aus einem Ofenrohr mit 14cm Durchmesser ein Heizofen wird der ein zwei Meter tiefes Schwimmbecken mit 14 Kubikmeter Wasserinhalt (welcher Durchmesser?) whirlpoolwarm beheizen könnte.

Wenn sie das versteht ist schon einiges geholfen. Sie muß halt Interesse an der genauen Beantwortung von Fragen entwickeln, noch ist sie sehr gelangweilt und sieht die Notwendigkeit dieser »Buchstabenrechnungen« nicht so völlig ein.
Natürlich sind das alles nur Czerney-Fingerübungen die ihr beim selbstständigen Erarbeiten einer Fragestellung/Problemlösung später behilflich sein können. Das Buchstabenrechnen ist wichtig!

Nun zu dem Schulstoff:

Die eine Schule löst die quadratische Gleichung nur durch die sogenannte pq-Form (siehe oben; zeichnung hier ist schwierig und wird unten als anhang versucht, nur mit ab statt pq dargestellt).
Die andere Schule führt gleich die Grundform ax(2) + bx + c = 0 ein, deren Lösung zwar in der Herleitung etwas aufwendiger (als die der pq-Form) ist, aber in der späteren Anwendung leichter zu handhaben (Weil nicht immer erst bei Vorliegen einer abc-Form die gesamte Gleichung erst durch das a dividiert werden muß um zu einer pq-Form zu gelangen)

In meiner Schulform lernen die Schüler mit beiden Schemata umzugehen, da sie diesen Kniff der »quadratischen Ergänzung«, ob man da etwas zu addieren oder abzuziehen habe oder wie man damit umzugehen hat »von Grund auf« verstanden haben und diese quadratische Ergänzung in beliebigen Fällen quadratischer Gleichungen anwenden können.

Aus diesem Grund ist es nicht einmal nötig die beiden üblichen Lösungsformeln auswenig zu lernen. Wenngleich die pq-Lösungsform nicht bei allen Quadratgleichungen sofort anwendbar ist (nötige Teilung der gesamten Gleichung durch den dem x(2) vorangestellten Koeffizienten a), ist dahingegen die abc-Lösungsform direkt und sofort auf alle Quadratgleichungen anwendbar.

Bei uns damals war es so: die Mittelstufe lernte die pq-Lösungsformel, die beginnende Oberstufe die abc-Lösungsformel. Und die Herleitung hatten die meisten später allesamt vergessen, und die wurde auch nie mehr gebraucht. Ich mach das nur als Hobby.

Im Grunde ist es völlig wurscht wie man eine quadratische Gleichung löst. Hauptsache man löst sie.



Herleitung der pq-Lösungsform in ab-Form:

x(2) + ax = b // quadratische Ergänzung : (a/2) zum Quadrat (2)
gibt
x(2) + ax + (a/2)(2) = b + (a/2)(2)
=
(x + a/2)(2) = b + a(2)/4 // Wurzel ziehen
x + a/2 = plusminusWurzel b + a(2)/4
oder
x(1,2) = -(a/2) plusminusWurzel (4b + a(2))/4

x(1) = -(a/2) plus Wurzel (4b + a(2))/4

und

x(2) = -(a/2) minus Wurzel (4b + a(2))/4


Vielleicht habe ich vergessen zu erwähnen, daß möglicherweise die Ofenrohre von Atomkraftwerken aus genau den oben erwähnten Teilstücken zusammengesetzt werden könnten. Aber das die in den achten Klassen schon Ofenrohre für Atomkraftwerke berechnen müssen, also echt ! Damit hab ich natürlich nun nicht gerade gerechnet