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Die Herstellung der Potentialfunction ist zuerst von Green auf die Herstellung der Function U\! zurückgeführt in der oben (§. 20) citirten Abhandlung: an essay on the application of mathematical analysis to the theories of electricity and magnetism. Green gibt aber keinen Beweis dafür, dass für jede Gestalt des Raumes S\! auch wirklich eine Function U\! und nur eine existirt, die den gestellten Bedingungen Genüge leistet. Er beruft sich einfach auf die physikalische Bedeutung der Function U\!.*)[1] Diese Lücke hat Gauss ausgefüllt.**)[2] Er bezeichnet mit U\! eine Grösse, die in jedem Punkte der Oberfläche von S\! einen bestimmten, endlichen, nach der Stetigkeit sich ändernden Werth hat, und mit V\! die Potentialfunction einer über dieselbe Oberfläche auszubreitenden Masse M\!. Die Ausbreitung der Masse darf so geschehen, dass die Dichtigkeit \rho\! entweder überall positiv ist, oder dass sie in einzelnen Theilen der Fläche auch negativ sein kann. In dem zweiten Falle ist M\! die algebraische Summe der positiven und der negativen Massen. Gauss beweist dann, dass es allemal eine und nur eine Vertheilung der Masse gibt, bei welcher die Differenz V-U\! in allen Punkten der Fläche einen constanten Werth hat, und dass die Gesammtmasse M\! so gewählt werden kann, dass dieser constante Werth =0\! ist. Bezeichnet man nun mit r\! den Abstand eines Punktes der Oberfläche von dem gegebenen Unstetigkeitspunkte im Innern von S\!, so hat -\frac{1}{r} die Eigenschaften, welche |[145]Gauss seiner Function U\! zuschreibt. Man darf also den Satz von Gauss speciell so aussprechen: Auf der Oberfläche eines gegebenen Raumes S\! lassen sich immer in einer und nur in einer Weise entweder positive, oder theils positive, theils negative Massen so ausbreiten, dass die Function V+\frac{1}{r} für jeden Punkt der Oberfläche den Werth Null hat. Diese Function befriedigt alle Bedingungen, welche Green für seine Function U\! aufstellt.
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