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Mit starrem Blick zum Horizont, frug Sie mich was ich säh.
Doch ich sah nichts, bis auf, allein den Himmel und die See.
Dazwischen war, nun sah ich klar, das Nichts. Doch um ein Haar
wär es mir nicht aufgefalln und Sie nähm es nicht wahr.
Wie weit ist der Horizont entfernt?
Angenommen die Erde hat einen Umfang von 40.000km,
dann lässt sich der Erdradius mit der Formel
Umfang = 2 * Radius * PI
berechnen. Man teilt den Umfang durch 2 und erhält
20.000km. Anschliessend teilt man durch PI, also
ungefähr 3,141. Um es zu vereinfachen nimmt man
einfach 3. 20.000km durch 3 ergibt irgendwas zwischen
6.000km und 7.000km. Man nimmt den niedrigeren Wert,
um den fehlerhaften Wert von PI ein wenig auszugleichen.
Der Erdradius beträgt also ca. 6.000km.
Um die Entfernung zum Horizont zu berechnen bedient
man sich dann dem Satz des Pythagoras. Der besagt,
dass in einem rechtwinkligen Dreieck, das Quadrat
der dem rechten Winkel gegenüberliegenden Seite
gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen
Seiten ist. Und in unserem Fall liegt so ein
Dreieck vor, wobei der rechte Winkel am Horizont
liegt. Die diesem Winkel gegenüberliegende Seite
ist die Verbindung zwischen unseren Augen und dem
Erdmittelpunkt und die beiden anderen Seiten verbinden
einen beliebigen Punkt am Horizont einmal mit unseren
Augen und einmal mit dem Erdmittelpunkt. Um nun die
Länge der Seite zwischen unseren Augen und dem
Erdmittelpunkt zu bestimmen, benötigen wir natürlich
die Höhe unserer Augen über der Erdoberfläche. Das
sind so, sagen wir mal, 2m. Also gilt
(6.000km + 2m)^2 = (6.000km)^2 + x^2
wobei x die Entfernung des Horizontes ist. Wir
multiplizieren die rechte Seite der Gleichung aus und
erhalten
(6.000km)^2 + 2 * 6.000km * 2m + (2m)^2 = (6.000km)^2 + x^2
Das Quadrat von 6.000km taucht auf beiden Seiten auf,
fällt also weg.
2 * 6.000km * 2m + (2m)^2 = x^2
Vereinfachung führt zu ungefähr
24km^2 = x^2
Jetzt muss also nur noch die Wurzel aus 24 gezogen
werden. Das sind fast 5.
Der Horizont ist ca. 5km entfernt.
Geht das auch etwas genauer?
Nicht wirklich. Der Horizont hat keine konstante
Entfernung. Die Erdkrümmung ist überall anders,
die Augenhöhe variiert von Mensch zu Mensch, steigt
man auf's Dach, ist der Horizont auch weiter entfernt
usw. Trotzdem kann man natürlich genauer wirkende
Zahlen verwenden und nicht soviel runden. In meinem
Lexikon steht, dass der Erdradius am Äquater bei
6.378,135km liegt. Auch die Augenhöhe ist natürlich
ein klein wenig zu hoch angesetzt. Bei durchschnittlich
1,80m Körpergrösse liegt sie wohl bei um die 1,70m.
Alles im Taschenrechner eingegeben, kommt man dann auf
5.050,99m
Aber die fünfzig Meter machen den Kohl ja wohl auch
nicht fett. Viel interessanter ist da doch die Frage:
Was ist die Entfernung zum Horizont?
Ja, was ist das eigentlich. Wenn es die Entfernung
zwischen Augen und Horizont ist, so haben wir sie
gerade zwei mal berechnet. Aber wenn es die Entfernung
ist, die wir laufen müssen, müssen wir natürlich einen
ganz anderen Weg einschlagen. Dazu könnte man
beispielsweise zunächst den vom Erdmittelpunkt aus
gesehenen Winkel zwischen uns und dem Horizont errechnen.
Laut Sinussatz ist in einem gegebenen Dreieck, der
Quotient zwischen einer beliebigen Seite und dem Sinus
des gegenüberliegenden Winkels immer gleich.
a / sin(alpha) = b / sin(beta)
Wir kennen schon den Winkel am Horizont. Der ist
nämlich recht und daher 90 Grad. Die gegenüberliegende
Seite ist die Entfernung Auge-Erdmittelpunkt, also
6.378.137,6m. Nun brauchen wir nur noch die
gegenüberliegende Seite des Winkels am Erdmittelpunkt,
und das ist natürlich die Entfernung Auge-Horizont.
6.378.137,6m / sin(90Grad) = 5.050,99m / sin(beta)
Setzen wir für den Sinus von 90 Grad 1 ein und stellen
der Übersichtlichkeit halber alles ein wenig um.
sin(beta) = 5.050,99m / 6.378.137,6m
Jetzt müssen wir nur noch einen Taschenrechner mit
Arkussinusfunktion finden, beta berechnen, ins Verhältnis
zu 360 Grad stellen und mit dem Erdumfang von
40.075.004m multiplizieren. Dann erhalten wir
4.656,79m
Es ist also ein ganzes Stückchen kürzer. Genauer gesagt
394 Meter und etwa 20 Zentimeter.
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